На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники $ADB$, $BEC$ и $CFA$ $\Big(\dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{|BE|}{|EC|}=\dfrac{|CF|}{|FA|}=k$; $\widehat{ADB}=\widehat{BEC}=\widehat{CFA}=\alpha\Big)$. Докажите, что:
середины отрезков $AC$, $DC$, $BC$ и $EF$ — вершины параллелограмма;
у этого параллелограмма два угла имеют величину $\alpha$, а отношение длин сторон равно $k$.
Обозначим через $\overrightarrow{a}'$ вектор, получающийся из вектора $\overrightarrow{a}$ поворотом на угол $\alpha$ против часовой стрелки. (Известно, что $(k\overrightarrow{a})'=k\overrightarrow{a}'$ для любого числа $k$, $(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})'=\overrightarrow{a}'+\overrightarrow{b}'$, и вообще, для любого числа слагаемых, $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\ldots+\overrightarrow{c})'=\overrightarrow{a}'+\overrightarrow{b}'+\ldots+\overrightarrow{c}'$.)
Введём векторы $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{c}$ (см. рисунок).
По условию $\overrightarrow{DB}=\dfrac1k\overrightarrow{a}'$, $\overrightarrow{EC}=\dfrac1k\overrightarrow{b}'$, $\overrightarrow{FA}=\dfrac1k\overrightarrow{c}'$.
Поскольку $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{0}$,
$$
-\overrightarrow{a}+\dfrac1k\overrightarrow{a}'-\overrightarrow{b}+\dfrac1k\overrightarrow{b}'-\overrightarrow{c}+\dfrac1k\overrightarrow{c}'=\overrightarrow{0},
$$
т. е. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\dfrac{\overrightarrow{a}'+\overrightarrow{b}'+\overrightarrow{c}'}{k}=\dfrac1k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})'$. Обозначив $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ через $\overrightarrow{u}$, получим
$$
\overrightarrow{u}-\dfrac1k\overrightarrow{u}'=0.\tag{*}
$$
Поскольку векторы $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{u}'$ неколлинеарны ($\alpha\ne0$ и $\alpha\ne2\pi$), равенство (*) возможно тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$. Поэтому $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
Далее: так как $Q$ — середина $[DC]$ и $P$ — середина $[AC]$ (см. рисунок), $\overrightarrow{QP}=\dfrac12\overrightarrow{a}$. Аналогично $\overrightarrow{QR}=\dfrac12\overrightarrow{DB}$. Из $(PQ)\parallel(AD)$ и $(QR)\parallel(BD)$ следует $\widehat{PQR}=\alpha$.
Наконец,
$$
\begin{gather*}
\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FS}=\dfrac12\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{c}+\dfrac12\overrightarrow{FE}=\\
=\dfrac12\left(-\overrightarrow{b}+\dfrac1k\overrightarrow{b}'\right)-\overrightarrow{c}+\dfrac12\left(\overrightarrow{c}-\dfrac1k\overrightarrow{b}'\right)=-\dfrac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{a}}{2}=\overrightarrow{QP}.
\end{gather*}
$$
Таким образом, четырёхугольник $PQRS$ — параллелограмм с углом $PQR$, равным $\alpha$, и отношением длин сторон $\dfrac{|PQ|}{|RQ|}=\dfrac{|AD|}{|DB|}=k$.
