Задача М606‍‍

По условию для любого действительного $x$‍‍ справедливы равенства $$\begin{gather*} f(x+2)+f(x)=\sqrt{2}f(x+1)=\\ =\sqrt{2}\big(\sqrt{2}f(x)-f(x-1)\big)=2f(x)-\sqrt{2}f(x-1), \end{gather*}$$ т. е. $$ f(x+2)=f(x)-\sqrt{2}f(x-1). $$ Поэтому $$\begin{gather*} f(x+4)=f(x+2)-\sqrt{2}f(x+1)=\\ =f(x)-\sqrt{2}\big(f(x-1)+f(x+1)\big)=-f(x). \end{gather*}$$ Следовательно, $$ f(x+8)=-f(x+4)=f(x) $$ для любого $x\in\mathbb{R}$‍,‍ так что $f$‍‍ — периодическая функция, период которой равен 8.

Заметим, что функции, удовлетворяющие исходному уравнению, существуют: например, $f(x)=\sin\dfrac{\pi x}4$‍.‍