а) Из теоремы Вейерштрасса («Алгебра и начала анализа 9», п. 32) легко выводится лемма: если $(\alpha_n)$ и $(\beta_n)$ — возрастающая и убывающая последовательности, $\alpha_n\lt\beta_n$ для всех $n$ и $\lim\limits_{n\to\infty}(\beta_n-\alpha_n)=0$, то последовательности $(\alpha_n)$ и $(\beta_n)$ имеют общий предел $c=\lim\limits_{n\to\infty}\alpha_n=\lim\limits_{n\to\infty}\beta_n$ и $\alpha_n\lt c\lt\beta_n$ при всех $n$.
Рассмотрим для данной последовательности $(x_n)$ две последовательности:
$$
\begin{aligned}
\gamma_n&=x_n-\ln{}(n+1),\\
\Gamma_n&=x_n-\ln n.
\end{aligned}
$$
Легко видеть, что они удовлетворяют условиям леммы ($\gamma_n\lt\Gamma_n$; $\lim\limits_{n\to\infty}(\Gamma_n-\gamma_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\ln\left(1+\dfrac1n\right)=0$; $\gamma_n-\gamma_{n-1}=\int\limits_{n-1}^n\left(\dfrac1n-\dfrac1{x+1}\right)dx\gt0$, поскольку $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{x+1}\gt0$ при $x\in[n-1;n]$; аналогично $\Gamma_n-\Gamma_{n-1}\lt0$). Поэтому последовательности $(\gamma_n)$ и $(\Gamma_n)$ имеют общий предел $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\gamma_n=\lim\limits_{n\to\infty}\Gamma_n$ и $\gamma_n\lt\gamma\lt\Gamma_n$ при всех $n$.
Итак, предел $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\Gamma_n$ существует. (Впервые это было указано Л. Эйлером. Число $\gamma$ называется постоянной Эйлера.)
б) Легко видеть, что $$
\begin{gather*}
x_n+x_m-x_{nm}=(x_n+x_m-x_n)-(x_{2n}-x_n)-(x_{3n}-x_{2n})-\ldots-(x_{nm}-x_{n(m-1)})\le\\
\le x_m-n\cdot\dfrac{1}{2n}-n\cdot\dfrac{1}{3n}-\ldots-n\cdot\dfrac{1}{mn}=1.
\end{gather*}
$$
С другой стороны, $\Gamma_{nm}\le\Gamma_n$, т. е.
$$
\begin{gather*}
x_{nm}-\ln(mn)\le x_n-\ln n,\\
x_n-x_{nm}-\ln n+\ln(mn)\ge0.\tag{*}
\end{gather*}
$$
Но $\Gamma_m\gt\gamma$, т. е.
$$
x_m-\ln m>\gamma.\tag{**}
$$
Складывая неравенства (*) и (**), получаем
$$
x_n-x_{nm}+x_m>\gamma,
$$
что и требовалось доказать.
в) Чтобы вычислить $\gamma$ с точностью до $0{,}1$, воспользуемся результатами решения задачи.
Так как $\gamma_n\lt\gamma\lt\Gamma_n$, то, взяв $n=100$ членов последовательности, получим $0{,}57\lt\gamma\lt0{,}58$, поэтому $\gamma\approx0{,}5$.
Приближённое значение числа $\gamma$ известно: $\gamma=0{,}577\ldots$
