Задача М587‍‍

Преобразование $$ (x;y)\to\left(\dfrac{x+y}{\sqrt2};\dfrac{x-y}{\sqrt2}\right)\tag{1} $$ сохраняет сумму квадратов пары чисел: $$ x^2+y^2=\left(\dfrac{x+y}{\sqrt2}\right)^2+\left(\dfrac{x-y}{\sqrt2}\right)^2. $$ Поэтому процедура, указанная в условии, сохраняет сумму квадратов тройки чисел. Но $$ 2^2+(\sqrt2)^2+\left(\dfrac1{\sqrt2}\right)^2=6\dfrac12\ne1+(\sqrt2)^2+(1+\sqrt2)^2=6+2\sqrt2. $$ Поэтому перевести одну тройку в другую нельзя.

Заметим, что преобразование (1) — это поворот плоскости вокруг точки $(0;0)$‍‍ на $45^\circ$‍.‍

Поэтому преобразования точек $(x;y;z)\in\mathbb R^3$‍‍‍ в нашей задаче — повороты на угол $45^\circ$‍‍ вокруг любой из трёх координатных осей и их всевозможные композиции. Ясно, что эти преобразования переводят любую сферу с центром в начале координат $O$‍‍ в себя — на этом основано решение задачи.

Можно доказать (попробуйте это сделать!), что орбита любой начальной точки $(x_0;y_0;z_0)$‍‍ — множество точек, которые получаются из неё действием группы всех наших преобразований, — будет всюду плотна на сфере радиуса $\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}$‍‍ с центром $O$‍,‍ т. е. содержит точки в любом сколько угодно маленьком кружочке сферы.

Более трудные задачи — описать точно орбиту какой-либо точки, скажем точки $(1;0;0)$‍‍ или одной из точек, данных в условии, или указать алгоритм, позволяющий по двум точкам сферы узнать, можно ли одну из них перевести в другую. Нам решение этих задач неизвестно.