Первое решение. Пусть $K$, $L$, $M$, $N$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ (рис. 1), $[AC]\perp[BD]$. Докажем, что $|ON|=|BL|$ и $|OM|=|BK|$.
Рисунок номер 1
Действительно, $|KL|=|MN|$ и $[KL]\parallel[MN]$ как средние линии в треугольниках $ABC$ и $ACD$ с общим основанием $AC$. Поэтому $\widehat{BKL}=\widehat{BAC}=\widehat{BDC}$ (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Далее, $[OM]\perp[CD]$, а $[MN]\perp[BD]$ (поскольку $[MN]\parallel[AC]$), так что $\widehat{BDC}=\widehat{OMN}$. Значит, $\widehat{BKL}=\widehat{OMN}$. Кроме того, $\widehat{KBL}=180^\circ-\widehat{MDN}=\widehat{MON}$. Таким образом, треугольники $BKL$ и $MON$ конгруэнтны (по стороне и двум углам), откуда $|ON|=|BL|$, $|OM|=|BK|$.
Равенства $|OK|=|DM|$ и $|OL|=|DN|$ следуют из конгруэнтности треугольников $OKL$ и $DMN$.
Второе решение. Проведём хорду $AE$, перпендикулярную $AD$ (рис. 2). Дуга $AE$ конгруэнтна дуге $BC$ (поскольку $\widehat{ADE}=\widehat{BAC}$), так что $|AE|=|BC|$. Так как $\widehat{EAD}=90^\circ$, $ED$ — диаметр и $OE\parallel[ED]$. Поскольку $OM$ — средняя линия в прямоугольном треугольнике $ADE$,
$$
|ON|=\dfrac{|AE|}{2}=\dfrac{|BC|}{2},
$$
что и утверждалось.
Рисунок номер 2
