«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
В окружность с центром $O$ вписан четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстояние от точки $O$ до каждой его стороны равно половине длины противоположной стороны.
С замкнутой ломаной $A_1A_2\ldots A_m$, где $m$ нечётно, проделывается такая операция: середины её звеньев соединяются $m$ отрезками через одну (середина $A_1A_2$ — с серединой $A_3A_4$, середина $A_2A_3$ — с серединой…
Натуральный ряд 1, 2, 3, $\ldots$ разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на её разность.