Докажем это неравенство по индукции.
1. При $n=1$ неравенство справедливо: $\sin\alpha\gt0$, если $\alpha\in(0;\pi)$.
При $n=2$ имеем:
$$
\sin\alpha+\dfrac12\sin2\alpha=\sin\alpha\,(1+\cos\alpha)\gt0,
$$
если $\alpha\in(0;\pi)$.
2. Пусть
$S_{n-1}(\alpha)=\sin\alpha+\dfrac12\sin2\alpha+\ldots+\dfrac1{n-1}\sin{}(n-1)\alpha\gt0$
при $\alpha\in(0;\pi)$. Докажем, что функция
$S_n(\alpha)=S_{n-1}(\alpha)+\dfrac1n\sin n\alpha$ также положительна при $\alpha\in(0;\pi)$. Предположим противное. Тогда $S_n(\alpha)$ имеет минимум в искомой точке $\alpha_0$ ($0\le\alpha_0\le\pi$), причём
$S_n(\alpha_0)\le0$. При этом
$$
S_n'(\alpha_0)=\cos\alpha_0+\cos2\alpha_0+\ldots+\cos n\alpha_0=
\dfrac{\sin{\left(n+\dfrac12\right)}\alpha_0-
\sin\dfrac{\alpha_0}2}{2\sin\dfrac{\alpha_0}2}=0.
$$
Значит, $\sin{\left(n+\dfrac12\right)}\alpha_0=\sin\dfrac{\alpha_0}2$,
откуда $\left|\cos{\left(n+\dfrac12\right)}\alpha_0\right|=\cos\dfrac{\alpha_0}2$.
Поэтому
$$
\begin{gather*}
S_n(\alpha_0)-S_{n-1}(\alpha_0)=\dfrac1n\sin n\alpha_0=\\
=\dfrac1n{\left(\sin{\left(n+\dfrac12\right)}\alpha_0\cos\dfrac{\alpha_0}2-\cos{\left(n+\dfrac12\right)}\alpha_0\sin\dfrac{\alpha_0}2\right)}\ge0,
\end{gather*}
$$
т. е. $S_{n-1}(\alpha_0)\le S_n(\alpha_0)\le0$, что противоречит предположению индукции. Поэтому $S_n(\alpha)\ge0$ при всех $\alpha\in(0;\pi)$.
Рассмотренная сумма $$S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{\sin kx}k$$
является частичной суммой бесконечного тригонометрического ряда, про который можно доказать, что он на интервале $(-\pi;\pi)$ сходится к функции $\dfrac x2$, а на всей прямой — к периодическому продолжению (с интервала $(-\pi;\pi)$) этой функции. Коэффициенты $\dfrac1k$ этого ряда связаны с функцией $\dfrac x2$ формулами Фурье:
$$
\dfrac1k=\dfrac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\dfrac x2\sin kx\,dx.
$$
а ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{\sin kx}k$
является рядом Фурье функции $\dfrac{x}2$.
Теория рядов Фурье — бесконечных сумм вида $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\cos kx+\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\sin kx$ — чрезвычайно важный и богатый результатами раздел математического анализа. Неравенство
$$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{\sin kx}k\gt0$$
(для любого натурального $n$ и $x\in(0;\pi)$) было доказано Липотом Фейером (1880—1959), известным венгерским математиком, внёсшим значительный вклад в развитие теории тригонометрических рядов (ему, в частности, принадлежит один из первых примеров расходящегося в точке ряда Фурье непрерывной функции).
