Задача М510‍‍

В книге «Венгерские математические олимпиады» приводится такая задача (№ 148): «Доказать, что для всех положительных $\alpha\lt\pi$‍,‍ выполнено неравенство $$\sin\alpha+\dfrac12\sin 2\alpha+\dfrac13\sin3\alpha\gt0\,\text{»}.$$

Докажите следующее обобщение этого неравенства: для всех $0\lt\alpha\lt\pi$‍‍ и натурального $n$‍‍ $$ \sin\alpha+\dfrac12\sin2\alpha+\dfrac13\sin3\alpha+\ldots+\dfrac1n\sin n\alpha\gt0. $$