Пусть $A_0$, $B_0$, $C_0$ — проекции данных отрезков на перпендикулярную им плоскость (рис. 6). Заметим, что линия пересечения плоскостей $ABC_1$ и $CAB_1$ проходит через точку $A$ и точку пересечения прямых $BC_1$ и $B_1C$ (рис. 7), а её проекция проходит через точку $A_0$ и делит отрезок $B_0C_0$ в отношении $|BB_1|:|CC_1|$. Линия пересечения плоскостей $BCA_1$ и $ABC_1$ проходит через точку $B$ и точку пересечения прямых $AC_1$ и $A_1C$ (рис. 7), так что её проекция проходит через точку $B_0$ и делит отрезок $A_0C_0$ в отношении $|AA_1|:|CC_1|$ (рис. 6). Остаётся заметить, что те же факты имеют место и для проекций линий пересечения пар плоскостей ($A_1B_1C$, $C_1A_1B$) и ($B_1C_1A$, $A_1B_1C$), так что точки $M$ и $M_1$ пересечения троек плоскостей проектируются в одну и ту же точку $M_0$ плоскости $A_0B_0C_0$, перпендикулярной $[AA_1]$. Отсюда следует утверждение задачи.
Рисунок номер 6
Рисунок номер 7
Другое решение этой задачи получается с использованием понятия косой симметрии. Косой симметрией на плоскости называется следующее преобразование: нужно взять прямую — ось симметрии — и некоторое не параллельное ей направление. Затем через произвольную точку $K$ провести прямую, параллельную выбранному направлению, и найти на ней такую точку $K_1$, что отрезок $KK_1$ делится осью пополам. Точка $K_1$ и называется кососимметричной точке $K$. Аналогично и в пространстве, но там вместо оси нужно взять плоскость симметрии (и не параллельное ей направление). Легко проверить, что при косой симметрии прямые переходят в прямые, плоскости — в плоскости.
Решение задачи. Проведём через середины наших параллельных отрезков плоскость симметрии. Рассмотрим косую симметрию относительно этой плоскости с направлением, параллельным нашим отрезкам. Тогда тройка плоскостей $ABC_1$, $BCA_1$, $CAB_1$ переходит во вторую тройку плоскостей: $A_1B_1C$, $B_1C_1A$ и $C_1A_1B$. Следовательно, точка пересечения первой тройки плоскостей перейдёт в точку пересечения второй тройки плоскостей; поэтому соединяющий их отрезок параллелен данным (если две точки кососимметричны, то соединяющий их отрезок имеет выбранное направление).
