Внутри выпуклого $2n$-угольника взята произвольная точка $P$. Через каждую вершину и точку $P$ проведена прямая. Докажите, что найдётся сторона многоугольника, с которой ни одна из проведённых прямых не имеет общих точек (кроме, быть может, концов стороны).
Будем говорить, что прямая пересекает сторону многоугольника $M$, если их точка пересечения не совпадает с вершиной многоугольника.
Возможны два случая:
точка $P$ принадлежит какой-нибудь диагонали $AB$ многоугольника $M$;
точка $P$ не лежит ни на одной из диагоналей многоугольника $M$.
В первом случае прямые $PA$ и $PB$ совпадают с $(AB)$ и не пересекают никаких сторон $M$, а прямые, проходящие через точку $P$ и оставшиеся $2n-2$ вершины $M$, пересекают не более $2n-2$ сторон. Поэтому по крайней мере две стороны многоугольника $M$ не пересекает ни одна из проведённых прямых.
Рис. 1
Пусть теперь $P$ не лежит ни на одной из диагоналей $M$. Возьмём такую диагональ $AB$ многоугольника $M$, которая делит его границу на две $n$-звенные ломаные $\mathit\Gamma_1$ и $\mathit\Gamma_2$, а $2n$-угольник $M$ — на два выпуклых $(n+1)$-угольника $M_1$ и $M_2$ (рис. 1). Допустим, что $P$ находится внутри $M_1$; и пусть $C$ — произвольная вершина многоугольника $M_2$ (отличная от $A$ и $B$). Поскольку $M_1$ и $M_2$ находятся по разные стороны от $(AB)$, $P \in M_1$, $C \in M_2$ и многоугольник $M$ — выпуклый, прямые $PC$ и $AB$ пересекаются в некоторой точке $K \in [AB]$ (см. рис. 1). Прямая $PC$, проходящая через внутреннюю точку многоугольника $M_1$ и пересекающая его границу в точке $K$ на стороне $AB$, пересекает границу $M_1$ ещё в одной точке, не лежащей на $AB$, т. е. пересекает $\mathit\Gamma_1$. Итак, любая прямая, проходящая через вершины $\mathit\Gamma_2$ (отличные от $A$ и $B$), пересекает границу выпуклого многоугольника $M$ в двух точках: вершине $\mathit\Gamma_2$ и точке, лежащей на $\mathit\Gamma_1$ (возможно, совпадающей с вершиной $\mathit\Gamma_1$). Следовательно, любая такая прямая не пересекает звеньев ломаной $\mathit\Gamma_2$.
Аналогично доказывается, что прямые $AP$ и $BP$ также не пересекают звеньев ломаной $\mathit\Gamma_2$.
Итак, $n+1$ прямых пересекают не более чем $n$ сторон многоугольника $M$ (звеньев ломаной $\mathit\Gamma_1$). Оставшиеся $n-1$ прямых не могут пересечь более чем $n-1$ сторон многоугольника $M$ (звеньев ломаной $\mathit\Gamma_2$). Следовательно, хотя бы одна сторона (звено ломаной $\mathit\Gamma_2$) не пересекается ни одной из проведённых через точку $P$ и вершины многоугольника $M$ прямых.
