Назовём диаметром выпуклой фигуры (или выпуклого тела) отрезок, соединяющий две точки, расстояние между которыми наибольшее (диаметров может быть, конечно, больше одного; существование диаметра для выпуклого многоугольника и многогранника очевидно — им будет отрезок, соединяющий наиболее далёкие друг от друга вершины; существование диаметра произвольного замкнутого ограниченного множества на плоскости или в пространстве мы оставим здесь без доказательства).
a) Пусть $[MN]$ — диаметр данной выпуклой фигуры $\mathit\Phi$. Прямые, проходящие через точки $M$ и $N$, перпендикулярные к отрезку $MN$, будут опорными для фигуры $\mathit\Phi$, т. е. $\mathit\Phi$ целиком заключена внутри полосы, ограниченной ими: ведь для любой точки $X$ вне этой полосы либо $|XM|\gt|MN|$, либо $|XN|\gt|MN|$. Проведём ещё две перпендикулярные этим прямым опорные прямые, содержащие некоторые граничные точки $K$ и $L$ фигуры $\mathit\Phi$ (рис. 4). Полученный прямоугольник $\mathit\Pi$ удовлетворяет нужному условию: если площадь прямоугольника $\mathit\Pi$ равна $s$, то площадь $\mathit\Phi$ не меньше $S_{\triangle KMN}+S_{\triangle LMN}=\dfrac s2$.
Рис. 4
б) Пусть $[MN]$ — диаметр данного выпуклого тела $T$, $\mathit\Phi$ — проекция тела на опорную плоскость $\alpha$, проходящую через нижний конец $M$ диаметра (мы считаем $[MN]$ вертикальным, рис. 5, а). Докажем, что если заключить фигуру $\mathit\Phi$ в прямоугольник $\mathit\Pi$ такой, как в задаче а), то прямоугольный параллелепипед с основанием $\mathit\Pi$ и высотой $[MN]$ — нужная прямоугольная коробка для $T$. Сделаем с $T$ такое преобразование: каждый отрезок $l\cap T$, где $l$ — вертикальная прямая, сместим вниз так, чтобы нижний его конец попал на плоскость $\alpha$. Объединение полученных отрезков обозначим $\widehat{T}$ (рис. 6, а; на рис. 5, б и 6, б показано преобразование отдельных сечений). Ясно, что объёмы $T$ и $\widehat{T}$ совпадают [это — аналог принципа Кавальери, о котором говорилось в «Кванте» № 2
(статья С. Пухова)
и № 5 —
(статья В. Болтянского),
но здесь тела пересекаются не семейством параллельных плоскостей, а семейством параллельных прямых]. При этом $\widehat T$ содержит конус с основанием $\mathit\Phi$ и высотой $[MN]$ — это нетрудно доказать, рассмотрев вертикальные сечения. Если объём построенной нами прямоугольной коробки равен $V$, то объём цилиндра с основанием $\mathit\Phi$ и высотой $[MN]$ не меньше $\dfrac V2$, а объём конуса — не меньше $\dfrac{\,\dfrac V2\,}3=\dfrac V6$. Значит, и объём нашего тела не меньше $\dfrac V6$.
