Задача М399‍‍‍

На отрезке длины 7 можно поставить пять точек (см. рис. 3) так, чтобы для любого $m=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ 7 нашлись две из этих пяти точек на расстоянии $m$‍.‍

Попробуйте выяснить, какое наименьшее число $k_n$‍‍ точек нужно поставить на отрезке длины $n$‍‍ так, чтобы для любого $m=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ $n$‍‍ нашлись две из этих $k_n$‍‍ точек на расстоянии $m$‍.‍

1. Решите эту задачу для нескольких первых значений $n$‍‍ (нам известно $k_n$‍‍ для $n\le 13$‍).‍
2. Получите оценки для $k_n$‍‍ для любого $n$‍.‍ Известны оценки $\dfrac{\sqrt{8n+1}+1}{2}\le k_n\le \sqrt{4n+5}-1$‍.‍ Постарайтесь доказать эти неравенства и, если сможете, найдите более точные оценки.