Задача М357‍‍

Из условий задачи следует, что $$ x-y=\dfrac{y-z}{yz},\quad y-z=\dfrac{z-x}{xz} \quad\text{и}\quad z-x=\dfrac{x-y}{xy}. $$

Из первых двух соотношений $x-y=\dfrac{z-x}{xyz^2}$‍;‍ подставляя вместо разности $z-x$‍‍ её выражение через $x$‍‍ и $y$‍‍ (последнее соотношение), получим, что $x-y=\dfrac{x-y}{x^2y^2z^2}.$‍‍ Отсюда либо $x=y$‍‍ и тогда $z-x=0$‍,‍ $y-z=0$‍,‍ т. е. $x=y=z$‍,‍ либо же $1=\dfrac1{x^2y^2z^2}$‍,‍ т. е. $x^2y^2z^2=1$‍.‍