Задача М311‍‍

Пусть некоторая бактерия, у которой $N$‍‍ потомков среди 1000 бактерий, разделилась на две, у которых соответственно $N'$‍‍ и $N''$‍‍ потомков. Тогда $N=N'+N''$‍,‍ и поэтому одно из чисел $N'$‍‍ и $N''$‍‍ не меньше $\dfrac N2$‍.‍

Рассмотрим последовательность бактерий $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $A_3$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_m$‍,‍ где $A_1$‍‍ — самая первая бактерия, $A_{k+1}$‍‍ (для $k=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ $m-1$‍)‍ — та из двух бактерий, возникших при делении $A_k$‍,‍ у которой не меньше потомков, чем у её сестры, и $A_m$‍‍ — одна из 1000 бактерий, которые получились в конце. Пусть $A_k$‍‍ имеет $N_k$‍‍ потомков. Тогда последовательность $$ N_1=1000,\ N_2,\ N_3,\ \ldots,\ N_{m-1},\ N_m=1 $$ убывающая, но каждый член в ней не меньше половины предыдущего: $N_k\gt N_{k+1}\ge \dfrac{N_k}2$‍.‍ (На рисунке 1, изображающем процесс деления бактерий в виде «генеалогического дерева», показана цепочка бактерий $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_6$‍;‍ здесь $N_1=16$‍,‍ $N_2=9$‍,‍ $N_3=5$‍,‍ $N_4=3$‍,‍ $N_5=2$‍,‍ $N_6=1$‍.)‍ Если выбрать $j$‍‍ так, что $N_{j-1}\ge 668$‍,‍ а $N_j\lt668$‍,‍ то получим $334\le N_j \le 667$‍,‍ т. е. бактерия $A_j$‍‍ будет удовлетворять заданному условию.

Точно так же можно доказать, что если в конце получилось $M$‍‍ бактерий, то для любого натурального $c$‍‍ найдётся бактерия, число потомков которой $N$‍‍ удовлетворяет условиям $c\le N\lt 2c$‍.‍