Внутренней точкой Аполлония треугольника $XYZ$ назовём точку $T$, лежащую внутри треугольника $XYZ$ и такую, что
$$
TX\cdot YZ=TY\cdot ZX=TZ\cdot XY.
$$
Дан остроугольный треугольник $ABC$ (рис. 1). В нём проведены высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Пусть $P_a$, $P_b$ и $P_c$ — внутренние точки Аполлония треугольников $AB_1C_1$, $BC_1A_1$ и $CA_1B_1$ соответственно. Докажите, что треугольник $P_aP_bP_c$ является равносторонним.
Рис. 1
С. Суровцев
Учебно-тренировочные сборы кандидатов в команду на IMO (майские)
