Возьмём две коробки и разложим в них наши гири так, чтобы в первой коробке оказалось менее $K$ гирь. Раскладывать же гири будем следующим образом.
Сначала возьмём гири, веса которых не делятся на $K$. Если таких гирь меньше $K$, то положим их в первую коробку и перейдём к следующему шагу. Если же таких гирь окажется больше $K$, то положим все гири во вторую коробку.
В первом случае возьмём те гири, веса которых делятся на $K$, но не делятся на $K^2$. Если они уместятся в первой коробке, то положим их туда; если же нет, то положим все гири, не лежащие в первой коробке, во вторую.
Если опять будет иметь место первый случай, возьмём затем те гири, веса которых делятся на $K^2$, но не делятся на $K^3$, и т. д. Так как всего гирь не меньше $K$ штук, то часть гирь обязательно попадёт во вторую коробку. Пусть первой группой гирь, не поместившихся в первой коробке, будут гири, веса которых делятся на $K^r$, но не делятся на $K^{r+1}$. Во второй коробке окажутся те гири, веса которых делятся на $K^r$, а в первой — те, веса которых не делятся на $K^r$.
По условию задачи, гири можно разложить на $K$ равных по весу групп. Поскольку в первой коробке меньше $K$ гирь, в ней никак не могут быть представлены все $K$ групп, и значит, существует группа, все гири из которой оказались во второй коробке. Следовательно, суммарный вес этой (а значит, и каждой) группы делится на $K^r$. Так как всего у нас $K$ равных по весу групп, то суммарный вес гирь делится на $K^{r+1}$.
Предположим теперь, что мы убрали какую‑нибудь гирю, и оставшиеся гири смогли разделить на $K$ равных по весу групп. Как и раньше, получим, что сумма весов оставшихся гирь делится на $K^{r+1}$.
Вес гири, которую мы убрали, равен разности суммарных весов всех гирь и оставшихся гирь; следовательно, вес этой гири делится на $K^{r+1}$ (заметим, что $r$ может оказаться равным нулю; это соответствует тому, что все гири попадают во вторую коробку, а первая остаётся пустой). Значит, если бы мы убрали гирю, вес которой не делится на $K^{r+1}$, то оставшиеся гири нельзя было бы разложить на $K$ равных по весу групп. Но в силу выбора числа $r$ гирь, веса которых не делятся на $K^{r+1}$, не меньше $K$, так как иначе они все были бы помещены в первую коробку. Тем самым всё доказано.
