Задача М287‍‍

Такая последовательность существует. Объясним коротко, как её построить.

Предположим, что мы построили конечную последовательность, обладающую следующими свойствами:

1. все попарные разности между членами этой последовательности различны;
2. числа 1, 2, $\ldots$‍,‍ $k$‍‍ можно представить в виде разности двух её членов;
3. число $k+1$‍‍ нельзя представить в виде разности двух её членов.

Пусть максимальный член этой последовательности равен $M$‍.‍ «Допишем» теперь эту последовательность: добавим к ней числа $2M$‍‍ и $2M+k+1$‍.‍ Проверьте сами, что новая последовательность удовлетворяет свойствам 1, 2 (с заменой $k$‍‍ на $k+i$‍,‍ где $i$‍‍ — некоторое натуральное число, зависящее от первоначально построенной последовательности, $i\ge1$‍)‍ и свойству 3 (с заменой числа $k+1$‍‍ на число $k+i+1$‍).‍ Применяя описанное «дописывание», например, к числам 1, 2, получим бесконечную последовательность, удовлетворяющую условиям задачи.