Задача М2855‍‍

В неравнобедренном треугольнике $ABC$‍‍ вписанная окружность касается окружности девяти точек в точке $F$‍‍ (точке Фейербаха). Докажите, что

1. если $F$‍‍ лежит на высоте, проведённой из вершины $C$‍,‍ то $F$‍‍ делит пополам отрезок $CH$‍,‍ где $H$‍‍ — ортоцентр;
2. если $F$‍‍ лежит на медиане, проведённой из вершины $C$‍,‍ то $F$‍‍ делит пополам отрезок $CS$‍,‍ где $S$‍‍ — проекция ортоцентра на эту медиану (т. е. $S$‍‍ — так называемая точка Шалтая);
3. если $F$‍‍ лежит на биссектрисе, проведённой из вершины $C$‍,‍ то $F$‍‍ делит пополам отрезок $CI$‍,‍ где $I$‍‍ — центр вписанной окружности.