Задача М226‍‍

Докажем, что попасть в четвёртую вершину ни один из кузнечиков не может.

Введём координаты на плоскости так, чтобы три точки, в которых находятся кузнечики в самом начале, получили координаты: $(0,0)$‍,‍ $(0,1)$‍‍ и $(1,0)$‍.‍ Если кузнечик сидит в точке $(х,у)$‍‍ и прыгает через кузнечика $(a,b)$‍,‍ то он оказывается в точке $(2a—x, 2b—y)$‍‍ (рис. 8). Отсюда видно, чтэ при прыжках чётность обеих координат у каждого кузнечика сохраняется. Поэтому в те точки, у которых обе координаты нечётны, — в частности, в точку $(1,1)$‍‍ — ни один из кузнечиков попасть не может.

Это решение можно объяснить и без координат. На рисунке 9 изображено множество точек: синих, красных и черных. (Этими цветами мы пометили кузнечиков, чтобы отличать их друг от друга). Нетрудно проверить, что при симметрии относительно любой своей точки это множество точек переходит в себя, причём точка каждого цвета переходит в точку того же цвета. Отсюда следует, что каждый кузнечик может попасть только в точку своего цвета.

Докажите, что каждый кузнечик после нескольких прыжков может оказаться в любой точке своего цвета. Попробуйте также ответить на более трудный вопрос: могут ли два кузнечика оказаться одновременно в любых двух заданных точках соответствующего цвета? в какие тройки точек могут попасть одновременно три кузнечика?

На вопрос этот существует простой и красивый ответ, но мы не будем лишать читателей удовольствия найти его самостоятельно, а вернёмся к нему в одном из следующих номеров журнала.

[См. также статью
Васильев Н. Б. Вокруг формулы Пика // Квант. — 1974. — № 12. — С. 39‍—‍43.‍]