Задача М199‍‍

1. Докажите, что сумма $$ C_n^0-C_{n-1}^1\cdot\dfrac14+C_{n-2}^2\cdot\dfrac1{4^2}-\ldots+(-1)^i C_{n-i}^i\cdot\frac1{4^i}+\ldots $$ $\Big($‍‍сумма берётся по всем целым $i$‍,‍ $0\le i\le\dfrac n2\Big)$‍‍ равна $\dfrac{n+1}{2^n}$‍.‍
2. Докажите, что если $p$‍‍ и $q$‍‍ — различные числа и $p+q=1$‍,‍ то сумма $$ C_n^0-C_{n-1}^1pq+C_{n-2}^2p^2q^2-\ldots+(-1)^i C_{n-i}^i p^iq^i+\ldots, $$ аналогичная предыдущей, равна $\dfrac{p^{n+1}-q^{n+1}}{p-q}$‍‍ при произвольном $n$‍.‍

Здесь $C_n^k$‍‍ — биномиальные коэффициенты, т. е. $C_n^0=1$‍‍ и $C_n^k=\dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot k}$‍.‍ (О числах $C_n^k$‍‍ рассказывалось в «Кванте» №2 за этот год‍.)