Задача М1754‍‍‍

Каждое число натурального ряда окрашено либо в чёрный, либо в белый цвет. Докажите, что найдётся бесконечная возрастающая последовательность чёрных чисел $a_1$‍,‍ $a_1$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍,‍ $\ldots$‍‍ такая, что последовательность $$ a_1,\quad \dfrac{a_1+a_2}{2},\quad a_2,\quad \dfrac{a_2+a_3}{2},\quad\ldots,\quad a_n,\quad \dfrac{a_n+a_{n+1}}{2}, \quad a_{n+1}, \quad \ldots $$ одноцветна.