Точка $X$ пересечения общих внутренних касательных окружностей с радиусами $r_1$ и $r_2$ и центрами $O_1$ и $O_2$ делит отрезок $O_1O_2$ в отношении $\dfrac{XO_1}{XO_2}=\dfrac{r_1}{r_2}$. Докажем, что в том же отношении делит этот отрезок и точка $Y$ пересечения с ним диагонали. Поскольку точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности (с центром $P$), $\sin\angle O_1AY=\sin\angle O_2CY$ и по теореме синусов получаем
$$
\dfrac{YO_1}{r_1}=\dfrac{\sin\angle O_1AY}{\sin\angle O_1YA}=\dfrac{\sin\angle O_2CY}{\sin\angle O_2YC}=\dfrac{YO_2}{r_2},
$$
откуда $\dfrac{YO_1}{YO_2}=\dfrac{r_1}{r_2}$. Поэтому $Y$ (и, аналогично, точка пересечения $BD$ с $O_1O_2$) совпадает с $X$.
На самом деле эта задача — переформулировка теоремы о том, что отрезки, соединяющие точки касания противоположных сторон описанного четырёхугольника (со вписанной окружностью) проходят через точку пересечения его диагоналей: $A$, $B$, $C$, $D$ играют роль точек касания, $P$ — центра окружности, $O_1$ и $O_2$ — двух вершин описанного четырёхугольника. Этот факт был использован недавно И. З. Вайнштейном в замечательном решении задачи М1524.
