Найдите все целые $n\gt3$, для которых существуют $n$ точек $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ на плоскости, и действительные числа $r_1$, $r_2$, $\ldots$, $r_n$, удовлетворяющие следующим двум условиям:
никакие три из точек $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ не лежат на одной прямой;
для любой тройки $i$, $j$, $k$ ($1\le i \lt j\lt k\le n)$ площадь треугольника $A_iA_jA_k$ равна $r_i+r_j+r_k$.
Квадрат (или параллелограмм) площадью 1 и $r_1=r_2=r_3=r_4=\dfrac16$ — пример для $n=4$.
Достаточно доказать, что не может существовать нужного набора точек и чисел для $n=5$. Предположим противное. Пусть такие 5 точек $A_i$ и 5 чисел $r_i$ ($i=1$, 2, $\ldots$, 5) существуют. Будем обозначать площадь треугольника $A_iA_jA_k$ через $[ijk]$; по условию $[ijk]=r_i+r_j+r_k$.
Если четырёхугольник $A_iA_jA_kA_l$ выпуклый, то, как следует из равенства $[ijk]=[kli]=[jkl]=[lij]$,
$$
r_i+r_k=r_j+r_l.
$$
Докажем, что никакие два из чисел $r_i$ не могут совпадать. Предположим, что $r_4=r_5$. Тогда $[ij4]=[ij5]$ для любых двух чисел $i\lt j$ от 1 до 3. Это означает, что либо прямая $A_4A_5$ параллельна $A_iA_j$, либо $A_iA_j$ проходит через середину $K$ отрезка $A_4A_5$. Но из трёх прямых $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_1A_3$, согласно условию (i) задачи, не может быть более одной параллельной $A_4A_5$ и не более одной — проходящей через точку $k$. Получили противоречие.
Теперь рассмотрим выпуклую оболочку $H$ точек $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$ (наименьший выпуклый многоугольник, их содержащий). Возможны три случая (см. рисунок).
Если $H$ — пятиугольник, то четырёхугольники $A_1A_2A_3A_4$ и $A_1A_2A_3A_5$ — выпуклые, поэтому $r_1+r_3=r_2+r_4$ и $r_1+r_3=r_2+r_5$, откуда $r_4=r_5$, что невозможно.
Если $H$ — четырёхугольник, то можно считать, что этот четырёхугольник — $A_1A_2A_3A_4$ и $A_5$ лежит в треугольнике $A_1A_3A_4$; тогда $A_1A_2A_3A_5$ — тоже выпуклый, и противоречие получается точно так же, как в первом случае.
Если $H$ — треугольник $A_1A_2A_3$, то из равенства
$$
[124]+[234]+[314]=[125]+[235]+[315]
$$
следует, что $r_4=r_5$ — то же противоречие, что и выше.
