Для любого $n$ можно построить нужную последовательность длиной $n$, взяв первые $n$ чисел «ряда Фибоначчи»
$$
1,~2,~3,~5,~\ldots,~f_n\tag{*}
$$
(где $f_{k+1}=f_k+f_{k-1}$), переставив их в обратном порядке и разделив на общее наименьшее кратное $N$ этих $n$ чисел (*): каждое $\dfrac{f_k}N$ будет иметь вид $\dfrac1m$, где $m$ целое, и $$
\dfrac{f_{k-1}}N=\dfrac{f_{k+1}}N-\dfrac{f_k}N.
$$
Для $n=5$, например, $\mathop{\textup{\htmlClass{cyr}{НОК}}}\nolimits(1,2,3,5,8)=120$ и полученные пять чисел — это $\dfrac1{15}$, $\dfrac1{20}$, $\dfrac1{40}$, $\dfrac1{60}$, $\dfrac1{120}$. Конечно, возможны и другие примеры.
Бесконечной последовательности $a_n$ такого вида не существует, поскольку, с одной стороны, все $a_n$ имеют вид $\dfrac mN$, где $N$ — наименьшее общее кратное знаменателей у $a_1$ и $a_2$, $m$ — натуральное число, а с другой стороны, последовательность знаменателей чисел $a_n$ не ограничена, так что различных значений $a_n$ может быть лишь конечное число.
