Ответ: 5. Пусть $\overrightarrow{s}$ — сумма 6 любых векторов. Сумма $\overrightarrow{s}+\overrightarrow{a}$, где $\overrightarrow{a}$ — единичный вектор, будет иметь наименьшую длину, если $\overrightarrow{a}$ составляет с $\overrightarrow{s}$ наибольший возможный угол, т.е. направлен или по оси $O_x$, или по оси $O_y$. Таким образом, в наименьшую сумму должны входить векторы только этих двух направлений. Ясно, что квадрат длины суммы $k$ векторов $(0;1)$ и $7-k$ векторов $(1;0)$ равен $k^2+(7-k)^2$ и принимает наименьшее значение 25 при $k=3$ и $k=4$.
Можно решить эту задачу, нарисовав последовательно множества $M_2$, $M_3$, $\ldots$, $M_7$ точек $M$, в которые может попасть конец суммы $\overrightarrow{OM}$ двух, трёх, $\ldots$, семи единичных векторов с неотрицательными координатами (см. рисунок). Ближайшие к $O$ точки этих множеств выделены жирными точками.
