«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Доказать, что если $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ — положительные числа, то $$ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \ge 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1). $$
Углы остроугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести этих трёх масс попал
$n$ отрезков $A_1B_1$, $A_2B_2$, $\ldots$, $A_nB_n$ (рис. 1) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку $G$ (не лежащую на…
Текст задачи готовится
С натуральным числом проделывается следующая операция: его последняя цифра отделяется, умножается на 4 и прибавляется к оставшемуся числу (скажем, из 1993 получается 211). С полученным числом проделывается то же самое, и т. д. Докажите, что если в полученной последовательности встретилось 1001,…
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны вещественные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел,…
На плоскости дан единичный вектор $\overrightarrow{v_1}$. Разрешается провести любую прямую и построить (ортогональную) проекцию $\overrightarrow{v_2}$ вектора $\overrightarrow{v_1}$ на эту прямую, затем точно так же из вектора $\overrightarrow{v_2}$ получить $\overrightarrow{v_3}$ и т. д. Можно ли добиться того,…
Найдите наименьшую возможную длину суммы семи единичных векторов с неотрицательными координатами на плоскости $Oxy$.