На плоскости дан единичный вектор $\overrightarrow{v_1}$. Разрешается провести любую прямую и построить (ортогональную) проекцию $\overrightarrow{v_2}$ вектора $\overrightarrow{v_1}$ на эту прямую, затем точно так же из вектора $\overrightarrow{v_2}$ получить $\overrightarrow{v_3}$ и т. д. Можно ли добиться того, что вектор $\overrightarrow{v_k}$ (при некотором $k$) будет перпендикулярен $\overrightarrow{v_1}$ и при этом иметь длину не менее $0{,}99$?
Всё дело в том, что $\cos x$ при малом $x$ отличается от 1 на очень малую величину порядка $\dfrac{x^2}{2}$.
Докажем, например, что если $\overrightarrow{v_k}$ — проекция $\overrightarrow{v_{k-1}}$ на прямую, составляющую с $\overrightarrow{v_{k-1}}$ угол $x=\dfrac\pi{360}$ (в полградуса), а с $\overrightarrow{v_1}$ — угол $(k-1)x$, то $\overrightarrow{v_{181}}$ имеет длину больше 0,99; он, конечно, перпендикулярен $\overrightarrow{v_1}$.
Нам потребуются два простых неравенства:
$$
\cos x=1-2\sin^2\dfrac x2\gt1-\dfrac{x^2}2,\tag1
$$
вытекающее из $\sin x\lt x$ (при $x\gt0$);
$$
(1-y)^n\ge1-ny\tag{2}
$$
при $0\le y\lt1$, легко доказываемое по индукции: если (2) выполнено, то $$
(1-y)^{n+1}\ge(1-ny)(1-y)=1-(n+1)y+ny^2\ge1-(n+1)y.
$$
Из (1), (2) и $\pi^2\lt10$ следует:
$$
\left(\cos\dfrac\pi{360}\right)^{180}\gt\left(1-\dfrac{\pi^2}{2\cdot360^2}\right)^{180}\ge 1-\dfrac{\pi^2\cdot180}{2\cdot360^2}=1-\dfrac{\pi^2}{1440}\gt 1-\dfrac{10}{1000}=0{,}99.
$$
Замечание. Если векторы $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$, $\ldots$ откладывать от одной точки $O$ (см. рисунок), то их концы будут лежать на «логарифмической спирали», уравнение которой в полярной системе координат $(r,\phi)$ имеет вид $r=q^\phi$: длина $r(n)$ вектора $\overrightarrow{v_{n+1}}$ равна $\cos^n\left(\dfrac\pi{360}\right)$, а угол $\overrightarrow{v_{n+1}}$ с $\overrightarrow{v_1}$ равен $\phi(n)=\dfrac{n\pi}{360}$, поэтому $r(n)=q^{\phi(n)}$, где $q=\cos^{\frac{\scriptstyle360}{\scriptstyle\pi}}\left(\dfrac\pi{360}\right)$.
