Ответ: при нечётном $n$ — можно, при чётном — нельзя.
Будем считать, что таблица состоит из клеток $(x;y)$, где $x$ и $y$ — целые числа от 1 до $n$, причём в клетке $(x;y)$ стоит число $f(x;y)$ от 1 до $n$ такое, что $$
f(x;y)\equiv x+y\pmod n,
$$
т. е. разность $f(x;y)-(x+y)$ делится на $n$. (Очевидно, это расположение чисел — такое же, как в условии).
Если выбраны числа в клетках $(x_i;y_i)$, стоящих в разных строках и разных столбцах ($i=1$, 2, $\ldots$, $n$), то среди $x_i$ и среди $y_i$ каждое число 1, 2, $\ldots$, $n$ встречается по разу, поэтому
$$
x_1+\ldots+x_n=y_1+\ldots+y_n=\frac{n(n+1)}2.
$$
Если все числа $f(x_i;y_i)$ различны по модулю $n$, то и сумма
$$
(x_1+y_1)+\ldots+(x_n+y_n)=n(n+1)
$$
должна равняться $\dfrac{n(n+1)}2$ по модулю $n$. Но если $n$ чётно, $n=2k$, то разность
$$
2k(2k+1)-k(2k+1)=k(2k+1)
$$
не делится на $n=2k$, так что выбрать числа требуемым образом нельзя.
Если же $n$ нечётно, то достаточно выбрать числа $f(x;y)$ в клетках $x=y$, идущих по диагонали, где все они различны (числа 2, 4, $\ldots$, $2n$ дают разные остатки при делении на $n$).
Замечание. Эта задача — по существу другая формулировка двух более известных:
(1) Можно ли выписать две перестановки чисел 1, 2, $\ldots$, $n$ одну под другой так, чтобы суммы чисел по столбцам давали различные остатки от деления на $n$?
(2) Пусть $n$ штырьков радиолампы и $n$ соответствующих гнёзд розетки, в которую она втыкается, расположены по кругу в вершинах правильного $n$-угольника. Можно ли штырьки и гнёзда занумеровать числами 1, 2, $\ldots$, $n$ так, чтобы при любом втыкании лампы в розетку ровно один штырёк попадал в гнездо с тем же номером?
Ответ, конечно, тот же, что и в задаче M1472.
