Задача М1431 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1994, № 3) Задача М1431 // Квант. — 1994. — № 3. — Стр. 19; 1994. — № 6. — Стр. 21.

С натуральным числом проделывается следующая операция: его последняя цифра отделяется, умножается на 4 и прибавляется к оставшемуся числу (скажем, из 1993 получается 211). С полученным числом проделывается то же самое, и т. д. Докажите, что если в полученной последовательности встретилось 1001, то в ней нет ни одного простого числа.

Б. Д. Гинзбург

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1994, № 6) Задача М1431 // Квант. — 1994. — № 3. — Стр. 19; 1994. — № 6. — Стр. 21.

По нашему правилу из числа $x=10A+b$‍‍ (где $b$‍‍ — последняя цифра) получается число $y=A+4b$‍‍ такое, что $10y-x=39b$‍.‍ Поэтому если $y$‍‍ делится на 13, то $x$‍‍ тоже делится на 13, и обратно. Значит, если в последовательности встретилось $1001=13\cdot77$‍,‍ то все её члены также делились на 13. Но самого числа 13 в ней нет ни до 1001 (поскольку из 13 получается снова $1+4\cdot3=13$‍),‍ ни после него (поскольку из 1001 получается $100+4=104$‍,‍ затем 26, также являющееся «неподвижной точкой» для нашего правила).

Н. Б. Васильев, Б. Д. Гинзбург

Открыть в номере

Метаданные Задача М1431 // Квант. — 1994. — № 3. — Стр. 19; 1994. — № 6. — Стр. 21.

Предмет

Математика

Условие

Гинзбург Б. Д.

Решение

Васильев Н. Б.
, Гинзбург Б. Д.

Номера

1994. — № 3. — Стр. 19 [условие]

1994. — № 6. — Стр. 21 [решение]

Описание

Задача М1431 // Квант. — 1994. — № 3. — Стр. 19; 1994. — № 6. — Стр. 21.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m1431/