В основании пирамиды лежит правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, $B$ — вершина пирамиды. Известно, что углы $BA_1A_2$, $BA_2A_3$, $\ldots$, $BA_{n-1}A_n$, $BA_nA_1$ равны. Докажите, что пирамида правильная.
Первое решение. Пусть $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ — длины последовательных боковых рёбер пирамиды; будем считать, что стороны её основания равны 1, а углы, равенство которых постулируется условием, равны $\phi$ . Обозначим $t=\cos\phi$.
По теореме косинусов
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x_2=\sqrt{x_1^2+1-2x_1t},\\
{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\\
x_n=\sqrt{x_{n-1}^2+1-2x_{n-1}t},\\
x_1=\sqrt{x_n^2+1-2x_nt}.
\end{array}
\right.
$$
Перепишем эту систему:
$$
x_2=f(x_1),~\ldots,~x_n=f(x_{n-1}),~x_1=f(x_n), \tag{*}
$$
где $f(x)=\sqrt{x^2+1-2xt}$.
Докажем, что система (*) имеет единственное решение, причём для этого решения $x_1=x_2=\ldots=x_n$. Из системы (*) видно, что числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ удовлетворяют уравнению
$$
x=\underbrace{f(f(f\ldots f}_n(x))).\tag{**}
$$
Покажем, что уравнение (**) имеет единственный корень. Для этого изучим поведение функции $f(x)$.
Заметим, что для любого $x$ число $f(x)$ — длина третьей стороны треугольника со сторонами 1 и $x$ и углом между ними, равным $\phi$. Это даёт возможность изобразить два треугольника (две боковые грани пирамиды со сторонами 1, $x$ и 1, $y$ соответственно и с углом $\phi$ между ними) на одном рисунке, совместив на нём стороны, равные 1, и угол $\phi$.
На рисунке $OA=x$, $OB=y$, $\angle AOC=\phi$. Но в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны $f(x)$ и $f(y)$ соответственно. Из неравенства треугольника следует, что $|AC-BC|\lt AB$, т. е.
$$
|f(x)-f(y)|\lt|x-y| \tag{***}
$$
при $x\ne y$.
Функции, удовлетворяющие при $x \ne y$ условию (***), называются сжимающими. Очевидно, всякая функция $\underbrace{f(f(f\ldots f}_k(x)))$ является сжимающей.
Докажем, что для всякой сжимающей функции $\psi(x)$ уравнение $x=\psi(y)$ имеет не более одного решения. Пусть $x\ne y$, $\psi(x)=x$, $\psi(y)=y$. Тогда $|x-y|=|\psi(x)-\psi(y)|\lt |x-y|$. Противоречие.
Замечание 1. Система (*) может быть решена и непосредственно. Однако это решение достаточно громоздко, и мы его не приводим.
Второе решение. Пусть на рисунке $AC$ и $BC$ являются (в каком-либо порядке) наибольшим и наименьшим боковыми рёбрами ($AC\ne BC$). Из неравенства треугольника следует, что $|AC-BC|\lt AB=OB-OA$. Но $OA$ и $OB$ — также некоторые боковые рёбра. Однако разность между максимальным и минимальным числами всегда не меньше разности чисел, заключённых между ними: $|AC-BC|\ge OB-OA$. Противоречие.
Замечание 2. В решении мы использовали не правильность основания пирамиды, а лишь его равносторонность. Однако, используя результат задачи, легко показать, что (априори лишь равносторонний) многоугольник, лежащий в основании нашей пирамиды, является правильным.
