Каждая сторона $A_kA_{k+1}$ выпуклого $n$-угольника $A_1A_2\ldots A_n$ ($n\gt4$) продлевается на равную ей длину $A_{k+1}B_k=A_kA_{k+1}$. Докажите, что площадь полученного $n$-угольника $B_1B_2\ldots B_n$ не более чем в 5 раз превосходит площадь исходного.
Нужно доказать, что сумма площадей $n$ добавленных (заштрихованных на рисунке цветными линиями) треугольников не превосходит $4S$ (где $S$ — площадь $n$-угольника). Каждый из этих треугольников делится медианой на два равных по площади; отсюда следует, что его площадь вдвое больше площади треугольника, образуемого двумя соседними сторонами и диагональю данного $n$-угольника (соответствующие треугольники заштрихованы чёрными линиями того же направления). Но сумма площадей этих «чёрных» треугольников не превосходит 2$S$, поскольку они покрывают $n$-угольник не более чем в два слоя — пересекаются только треугольники, примыкающие к общей стороне пятиугольника.
