«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2+xy=a,\\ x^2-y^2=b, \end{array}\right. $$ где $a$ и $b$ — некоторые действительные числа.
Обозначим через $T_k(n)$ сумму произведений по $k$ чисел от 1 до $n$. Например, $$ T_2(4) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 35. $$
Докажите, что для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$ выполнены неравенства $$ a+b+c\le\frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b}\le\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}. $$
Каждая сторона $A_kA_{k+1}$ выпуклого $n$-угольника $A_1A_2\ldots A_n$ ($n\gt4$) продлевается на равную ей длину $A_{k+1}B_k=A_kA_{k+1}$. Докажите, что площадь полученного $n$-угольника $B_1B_2\ldots B_n$ не более чем в 5 раз превосходит площадь…