Задача М138‍‍

Докажите, что если $m$‍‍ и $n$‍‍ целые числа и $1 \le m \lt n$‍,‍ то $$ \sum_{k=1}^n (-1)^k k^m C_n^k=0, $$ где $C_n^k$‍‍ — биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты многочлена $$ (1+x)^m=\sum_{k=0}^n C_n^k x^k. $$

Например, если $n=4$‍,‍ то $C_4^0=1$‍,‍ $C_4^1=4$‍,‍ $C_4^2=6$‍,‍ $C_4^3=4$‍,‍ $C_4^4=1$‍‍ и верны равенства $$\begin{gather*} 1 \cdot 4+2 \cdot 6-3 \cdot 4+4 \cdot 1=0,\\ -1^2 \cdot 4+2^2 \cdot 6-3^2 \cdot 4+4^2 \cdot 1=0,\\ -1^3 \cdot 4+2^3 \cdot 6-3^3 \cdot 4+4^3 \cdot 1=0. \end{gather*}$$