Условие задачи (1972, № 3) Задача М133 // Квант. — 1972. — № 3. — Стр. 38—39; 1972. — № 11. — Стр. 46—47.
Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль «вольвокс» — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (т. е. клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних) в каждой «вершине» сходятся три клетки (рис. 3). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток всегда ровно на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?
Изображения страниц
Решение задачи (1972, № 11) Задача М133 // Квант. — 1972. — № 3. — Стр. 38—39; 1972. — № 11. — Стр. 46—47.
Утверждение задачи следует из формулы Эйлера. (О формуле Эйлера смотрите «Квант» № 4, 1972, стр. 31 или Курант и Роббинс «Что такое математика?», M.: Просвещение, 1967.) Действительно, обозначим число вершин вольвокса через