Задача М1293‍‍

Пусть $D$‍,‍ $E$‍,‍ $F$‍‍ и $G$‍‍ — точки касания окружностей со сторонами угла, а $K$‍‍ и $L$‍‍ — со сторонами треугольника (см. рисунок), $a=BK+CL$‍,‍ $\angle ABC=\varphi$‍.‍

Тогда сумма радиусов окружностей равна $$ BK\cdot\tg\dfrac{\pi-\angle ABC}{2}+CL\cdot\tg\dfrac{\pi-\angle ACB}{2}=a\cdot\tg\dfrac{\pi-\varphi}{2}. $$ Мы видим, что сумма радиусов не зависит от величины угла $ASB$‍.‍

Но когда прямые $FG$‍‍ и $BC$‍‍ параллельны, сумма радиусов равна высоте треугольника $ABC$‍‍ (при этом окружности равные, и диаметр каждой из них равен высоте треугольника $ABC$‍).‍