Куб размером $10\times10\times10$ сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков таким образом, чтобы в каждом из 300 рядов размером $1\times1\times10$, параллельных какому-нибудь ребру куба, стало не хватать ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.
Разрежем исходный куб $ABCDEFGH$ на кубики $2\times2\times2$. Разобьём все чёрные кубики на 4 группы $M_A$, $M_C$, $M_F$ и $M_H$ следующим образом: к группе $M_A$ отнесём те чёрные кубики, которые расположены в своих кубиках $2\times2\times2$ (см. рисунок) там же, где расположен чёрный кубик при вершине $A$ (т. е. если он стоит в левом нижнем углу кубика $2\times2\times2$), аналогично определяются группы $M_C$, $M_F$ и $M_H$ (см. рисунок). Таким же образом определяются множества $M_B$, $M_D$, $M_E$ и $M_G$ белых кубиков. Докажем, что из каждого множества $M_A$, $M_C$, $M_F$ и $M_H$ вынуто по одинаковому количеству чёрных кубиков.
Рассмотрим множества $M_A$ и $M_B$. Эти два множества заполняют 25 рядов, параллельных ребру $AB$. Поэтому из $M_A$ и $M_B$ вынуто в общей сложности 25 кубиков.
Рассмотрим ещё, например, множество $M_C$. Из множеств $M_B$ и $M_C$ также вынуто в общей сложности 25 кубиков. А так как все кубики, вынутые из $M_B$, — белые, из $M_C$ вынуто столько же кубиков, сколько их вынуто из $M_A$. Очевидно, то же количество кубиков вынуто из $M_F$ и $M_H$ и, значит, общее количество вынутых кубиков делится на 4.
