Пользуясь тем, что две касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, обозначим их, как показано на рисунке 1 (здесь использовано также, что касательные, проведённые из точки $D$ к каждой из двух равных окружностей, образуют равные углы, поэтому все они равны). Приравнивая две касательные, проведённые из вершины $B$ треугольника к дальней окружности, и учитывая, что $AB=BC=x+y$, получим:
$$
y+2z=y+x+u,
$$
откуда
$$
x+u=2z. \tag{*}
$$
Теперь решение можно закончить рутинной выкладкой, используя выражения площади треугольника через полупериметр $p$ и радиус $r$ вписанного круга, $S=rp$, а также через радиус $r_a$, вневписанного круга, касающегося стороны $a$ ($S=(p-a)r_a$): если $h$ — высота, опущенная на боковую сторону треугольника $ABC$, а $r$ — радиусы равных кругов, то площадь $S_{ABC}$ равна
$$\begin{gather*}
h\cdot \dfrac{x+u}{2}=S_{ABD}+S_{DBC}=\\
=r(x+y+z)+r(y+z+\dfrac{x+u}{2}-z-u)=\\
=r(x+y+\dfrac{x+u}{2}+y+\dfrac{x+u}{2}-u)=r(2x+2y).
\end{gather*}$$
Отсюда $r=\dfrac h4$.
Рисунок
Однако это можно также доказать, используя равенство (*), чисто геометрически. Голубой четырёхугольник с вершиной $C$ (см. рисунок) можно приставить к розовому сектору так, что одна из его сторон $u$ ляжет на основание $AC$ треугольника, а другая — поскольку $x+u=2z$ — пойдёт по его средней линии, которая, тем самым, касается вписанной в треугольник $ABD$ окружности (один из голубых радиусов совпадает с красным, перпендикулярным основанию, а другой составляет продолжение красного радиуса, перпендикулярного боковой стороне, условие же (*) показывает, что $C$ попадёт в середину основания). Отсюда следует, что диаметр окружности $2r$ равен половине высоты $h$.
