Задача М1243‍‍

а) Ответ: может. Первый игрок выиграет, если назовёт попарно различные целые числа $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ сумма которых равна 0 (например 1, $-3$‍‍ и 2). Тогда уравнение $ax^2+bx+c=0$‍‍ имеет корни $x_1=1$‍,‍ $x_2=\dfrac ca\ne1$‍.‍

б) Ответ: может. Вот одна из возможных стратегий первого игрока. Сначала он называет число 0. Если второй игрок ставит 0 на последнее место, то в левой части оказывается многочлен вида $x^3+ax^2+bx$‍.‍ Тогда первый называет число 2, а затем, в зависимости от действий второго игрока, ставит на оставшееся место число $-3$‍.‍

В итоге получается либо многочлен $x(x-1)(x-2)$‍,‍ либо $x(x-1)(x+3)$‍.‍

Если второй игрок ставит 0 вместо первой звёздочки, то получается многочлен вида $x^3+bx+c$‍.‍ Тогда первый называет число $-(3\cdot4\cdot5)^2$‍.‍ Если второй ставит его вместо $b$‍,‍ первый полагает $c=0$‍.‍ Если вместо $c$‍,‍ то первый ставит $b=3^2\cdot4^2-3^2\cdot5^2-4^2\cdot5^2$‍.‍ Соответственно, получается разложение $x(x+3\cdot4\cdot5)(x-3\cdot4\cdot5)$‍‍ либо $(x+3^2)(x+4^2)(x-5^2)$‍.‍

Если, наконец, второй подставит 0 вместо второй звёздочки, т. е. если получится многочлен $x^3+ax^2+c$‍,‍ то первый называет число $6^2\cdot7^3$‍,‍ а затем подставляет либо $a=-7^2$‍,‍ либо $c=-6^8\cdot7^3$‍.‍ Этим случаям соответствует разложение $(x+2\cdot7)(x-3\cdot7)(x-6\cdot7)$‍‍ либо $(x-2\cdot6^2\cdot7^2)(x+3\cdot6^2\cdot7^2)(x+6^3\cdot7^2)$‍.‍