Задача М1241‍‍

Ответ: 11. Решая эту задачу, удобно считать, что у нас имеется 1990 ящиков, в которых лежат 1, 2, $\ldots$‍,‍ 1990 камней. После каждого выбрасывания камней мы будем разбивать ящики на группы, содержащие по одинаковому количеству камней. Пусть в некоторый момент имеется $n$‍‍ групп ящиков (некоторые из них уже могут быть пустыми). Следующее выбрасывание камней происходит так: мы выбираем несколько ящиков, принадлежащих каким-то $k$‍‍ группам, и выбрасываем из них по одинаковому количеству камней. В результате ящики, принадлежавшие до выбрасывания разным группам, по-прежнему будут содержать разное количество камней, а ящики, из которых ничего не выбрасывалось, останутся в тех же группах, где они были до этого. Тем самым, если вначале было всего $n$‍‍ групп ящиков, то после очередного выбрасывания количество групп будет не меньше чем $\max\{n,n-k\}\ge\dfrac12n$‍.‍ Итак, на каждом шагу количество групп ящиков уменьшается не более чем в 2 раза.

Если вначале было 1990 различных групп ящиков, то на следующем шаге их будет не меньше чем 995, затем 498, 249, 125, 63, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Последняя группа уже может состоять из пустых ящиков. Итак, общее количество выбрасываний не меньше 11.

За 11 шагов можно выбросить все камни, если поступать так: сначала из всех ящиков, содержащих не меньше 996 камней, выбросить по 995 камней. Далее из каждого ящика, содержащего 498 и больше камней, выбросить 498 камней и т. д.