Заметим, что дробь $\dfrac1k$ встречается в $k$ последних скобках левой части. Поэтому после раскрытия скобок
(по формуле,
приведённой на полях) дробь $\dfrac1{k^2}$ встретится $k$ раз, а дробь $\dfrac1{kl}$ для каждого $l\gt k$ — тоже $k$ раз, причём каждому $l$ отвечают $l-1$ значений $k$ ($k=1$, 2, $\ldots$, $l-1$). Следовательно, сумма слева равна
$$
\begin{gather*}
\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{k^2}+2\sum_{l=1}^n\dfrac{k(l-1)}{kl}=\left(1+\dfrac12+\ldots+\dfrac1n\right)+\\
+2\left(1-\dfrac11+1-\dfrac12+\ldots+1-\dfrac1n\right)=2n-\left(1+\dfrac12+\ldots+\dfrac1n\right).
\end{gather*}
$$
Можно решить задачу и более прямолинейно — по индукции.
Легко проверить, что доказываемое равенство выполнено при $n=1$ ($1=2-1$) и $n=2$ ($\dfrac1{2^2}+\left(\dfrac12+\dfrac11\right)^2=4-1-\dfrac12$). Теперь докажем его для любого $n\gt2$, предполагая, что верно аналогичное равенство для $n-1$:
$$
\begin{gather*}
\dfrac1{n^2}+\left(\dfrac1n+\dfrac1{n-1}\right)^2+\ldots+\left(\dfrac1n+\dfrac1{n-1}+\ldots+1\right)^2=\\
=\dfrac{n}{n^2}+2\cdot\dfrac1n\cdot\left(\dfrac1{n-1}+\left(\dfrac1{n-1}+\dfrac1{n-2}\right)+\ldots+\left(\dfrac1{n-1}+\dfrac1{n-2}+\ldots+1\right)\right)+\\
+\left(\dfrac1{n-1}\right)^2+\left(\dfrac1{n-1}+\dfrac1{n-2}\right)^2+\ldots+\left(\dfrac1{n-1}+\ldots+1\right)^2=\\
=\dfrac1n+\dfrac2n\left(\dfrac{n-1}{n-1}+\dfrac{n-2}{n-2}+\ldots+\dfrac22+1\right)+2(n-1)-\left(1+\dfrac12+\ldots+\dfrac1{n-1}\right)=\\
=\dfrac1n+2+2n-2-\left(1+\dfrac12+\ldots+\dfrac1n\right)=2n-\left(1+\dfrac12+\ldots+\dfrac1n\right).
\end{gather*}
$$
