Задача М1211‍‍

Будем считать выбранную плоскость горизонтальной. Проведём две горизонтальные плоскости, касающиеся шара, и построим тетраэдр, у которого два противоположных ребра лежат в этих плоскостях, взаимно перпендикулярны и равны $a$‍‍ (рис. 1); соотношение между $a$‍‍ и радиусом $R$‍‍ шара выберем ниже.

Сечение шара горизонтальной плоскостью, находящейся на расстоянии $R-h$‍‍ от центра шара, т. е. на расстоянии $h$‍‍ от одной из касательных плоскостей и $2R-h$‍‍ от другой, — круг площади $\pi\big(R^2-(R-h)^2\big)=\pi h(2R-h)$‍‍ (рис. 2).

Сечение тетраэдра той же плоскостью — прямоугольник со сторонами $\dfrac{ah}{2R}$‍‍ и $\dfrac{a(2R-h)}{2R}$‍‍ (ясно, что длина каждой из сторон прямоугольника выражается линейной функцией от $h$‍,‍ которая в концах отрезка $0\le h\le2R$‍‍ принимает значения 0 и $a$‍).‍ Площадь этого сечения равна $\dfrac{a^2h(2R-h)}{4R^2}$‍.‍ Итак, достаточно взять $a=2\sqrt{\pi}R$‍,‍ чтобы площади соответствующих сечений были равны.