Задача М1199‍‍‍

Пусть корень уравнения $ax^2+(c-b)x+(e-d)=0$‍‍ равен $x=t^2$‍,‍ где $t\gt0$‍;‍ тогда $$ at^4+ct^2+e=bt^2+d. $$ Положим $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$‍.‍

Из предыдущего равенства следует, что числа $$\begin{gather*} f(t)=(at^4+ct^2+e)+t(bt^2+d),\\ f(-t)=(at^4+ct^2+e)-t(bt^2+d) \end{gather*}$$ имеют разные знаки (поскольку $t\gt1$‍,‍ знак определяет второе слагаемое — большее по модулю). Поэтому на отрезке $[-t,t]$‍‍ уравнение $f(x)=0$‍‍ должно иметь корень. (Мы пользуемся здесь тем, что непрерывная функция, принимающая в концах отрезка значения разных знаков, должна в некоторой точке обращаться в нуль.)