Докажите, что для любого тетраэдра имеет место неравенство
$$
r\lt\dfrac{ab}{2(a+b)},
$$
где $a$, $b$ — длины двух скрещивающихся рёбер, а $r$ — радиус вписанного шара.
Заметим, что радиус $r$ вписанной в тетраэдр сферы равен $\dfrac{3V}S$, где $V$ — его объём, а $S$ — площадь поверхности. (Для доказательства достаточно представить объём тетраэдра как сумму объёмов четырёх тетраэдров, основаниями которых являются грани данного тетраэдра, а вершины совпадают с центром сферы.) Оценим $V$ и $S$ через длины рёбер $a$, $b$ и расстояние $h$ между содержащими эти рёбра скрещивающимися прямыми. Опишем вокруг тетраэдра параллелепипед, для которого $a$ является ребром нижнего основания, а $b$ — верхнего (рис. 1). Его высота, очевидно, равна $h$, поэтому его объём не превосходит $abh$. В то же время, этот объём в 6 раз больше объёма тетраэдра, что становится ясным, если принять за основание параллелепипеда его боковую грань, содержащую грань тетраэдра. Таким образом, $V\le\dfrac{abh}6$.
Рис. 1Рис. 2
С другой стороны, расстояние от концов ребра $b$ тетраэдра до ребра $a$ не меньше $h$ и хотя бы одно из них больше $h$ (рис. 2), поэтому сумма площадей граней, примыкающих к ребру $a$, больше $ah$. Аналогично, сумма площадей двух других граней больше $bh$, т. е. $S\gt(a+b)h$, а $$
r=\dfrac{3V}S\lt\dfrac{abh}{2(a+b)h}=\dfrac{ab}{2(a+b)}.
$$
