В одном старом задачнике по геометрии была помещена такая задача: вычислить длину стороны правильного треугольника, вписанного в параболу $y=x^2$. В указании к задаче говорилось, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы. Верно ли такое указание? Может ли длина стороны правильного треугольника, вписанного в эту параболу, быть равной
Ответ. Указание в старом задачнике неверно. Правильный треугольник со стороной 3 вписать в параболу нельзя; со стороной 1988 — можно.
Рис. 1Рис. 2
Возьмём произвольную точку $A(a,a^2)$ параболы (пусть для определённости $a\ge0$) и повернём параболу на $60^\circ$ вокруг $A$ (рис. 1). Обозначим через $B$ одну из точек пересечения повёрнутой параболы с исходной, а через $C$ — прообраз точки $B$ при повороте. Тогда $ABC$ — правильный треугольник, вписанный в параболу. Если $a=0$, то координаты точек $B$ и $C$ равны $(\pm\sqrt3,3)$, а сторона треугольника равна $2\sqrt3$. Легко видеть, что это единственный из рассматриваемых треугольников с вершиной в начале координат. При $a\ne0$ наше построение даёт от одного до трёх треугольников — в зависимости от числа точек пересечения двух парабол. Условимся выбирать в качестве $B$ точку пересечения с наибольшей ординатой, тогда ясно, что длина стороны треугольника $ABC$ непрерывно зависит от $a$, причём $AB\gt2a$. Действительно, эта точка лежит на пересечении левой ветви параболы с образом при повороте части правой ветви, лежащей выше точки $A$, и, следовательно, сама лежит выше $A$. Существование точки пересечения следует из того, что часть правой ветви параболы, лежащую выше точки $A$, можно заключить в угол, обе стороны которого после поворота пересекают левую ветвь параболы. Следовательно, $AB$ может принимать все значения из промежутка $[2\sqrt3;\infty)$, в частности 1988.
Остаётся доказать, что правильный треугольник со стороной 3 вписать в параболу нельзя. Предположим, напротив, что такой треугольник $ABC$ существует, и $a$, $b$, $c$ — абсциссы его вершин $A$, $B$ и $C$, причём, для определённости, $a^2\lt b^2\le c^2$, $b\gt0$ (рис. 2). Легко видеть, что тогда $c\lt0$ и $b\le\dfrac{BC}2=\dfrac32$. Оценим величину
$$
BA^2=(b-a)^2+(b^2-a^2)^2
$$
при $|a|\le b$. Ясно, что её наибольшее значение растёт с ростом $b$, поэтому можно считать, что $b=\dfrac32$. Пользуясь производной, находим, что максимум функции $f(x)=\left(\dfrac32-x\right)^2+\left(\dfrac94-x^2\right)^2$ на отрезке $\left[-\dfrac32;\dfrac32\right]$ достигается при $x=-\dfrac12$ и равен 8. Таким образом, $BA\le\sqrt8\lt3$, т. е. искомого треугольника не существует.
Можно показать, что длина стороны правильного треугольника, вписанного в параболу $y=x^2$, может принимать лишь значение, большее или равное $2\sqrt3$. Наметим план одного поучительного решения, дающего такой результат. Здесь полезно заметить, что все параболы подобны: парабола $y=ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$ получается переносом параболы $y=ax^2$ и подобна параболе $y=x^2$ с коэффициентом $\dfrac1{\sqrt{|a|}}$ (парабола с большим коэффициентом $a$ только кажется «острее»). Мы должны убедиться, что около правильного треугольника со стороной $d$ можно описать параболу с любым коэффициентом $a$, где $|a|\ge\dfrac{2\sqrt3}d$. Через три не лежащие на одной прямой точки $(x_1;y_1)$, $(x_2;y_2)$, $(x_3;y_3)$ с различными абсциссами $x_1$, $x_2$, $x_3$ можно провести параболу $y=ax^2+bx+c$; коэффициенты $a$, $b$, $c$ находятся из линейной системы уравнений $ax_i^2+bx_i+c=y_i$ ($i=1$, 2, 3); в частности,
$$
(x_3-x_2)a=\dfrac{y_3-y_1}{x_3-x_1}-\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
$$
откуда
$$
a=\dfrac{(y_3-y_1)(x_2-x_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_2-x_1)}.
$$
Числитель по модулю равен $2S$, где $S$ — площадь треугольника с вершинами $(x_i;y_i)$; таким образом, $|a|=\dfrac{2S}{P_l}$, где $P_l$ — произведение проекций сторон треугольника на прямую $l$, перпендикулярную оси параболы. (Это верно для любого треугольника.) Если треугольник — правильный со стороной $d$ $\left(S=\dfrac{\sqrt3d^2}4\right)$ и прямая $l$ образует с одной из его сторон угол $\phi$, то $$
P_l=\left|d^3\cos\phi\cos\left(\phi+\dfrac\pi3\right)\cos\left(\phi-\dfrac\pi3\right)\right|=
\left|\dfrac14d^3\cos3\phi\right|\le\dfrac{d^3}4,
$$
и $|a|=\dfrac{2S}{P_l}\ge\dfrac{2\sqrt3}d$. В частности, мы видим, что при $a=1$ длина $d$ принимает значения $d\ge2\sqrt3$; равенство здесь соответствует случаю $\phi=0$, когда одна из сторон треугольника перпендикулярна оси параболы (а вершина треугольника лежит в вершине параболы).
