Задача М1105‍‍

а), б) Ответ в обеих задачах — правильный тетраэдр.

Покажем, что и в одном, и в другом случае заданную развёртку можно переклеить в правильный треугольник, граница которого склеивается по тому же правилу, что и в условии задачи: соединяются точки каждой стороны, симметричные относительно её середины.

Пусть $P_1P_2P_3P_4$‍‍ — прямоугольник, рассматриваемый в задаче а), $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍,‍ $D$‍‍ — середины его сторон (рис. 1). Разрежем его по отрезкам $DA$‍‍ и $DC$‍‍ и подклеим сторону $AP_1$‍‍ треугольника $AP_1D$‍‍ к отрезку $AP_2$‍,‍ а сторону $CP_4$‍‍ треугольника $CP_4D$‍‍ к отрезку $CP_3$‍,‍ в соответствии с указанным в условии правилом склейки. Получится треугольник $DD_1D_2$‍‍ (рис. 2), в котором должны быть склеены отрезки сторон $AD$‍‍ и $AD_1$‍,‍ $CD$‍‍ и $CD_2$‍,‍ $BD_1$‍‍ и $BD_2$‍‍ (очевидно, эти отрезки попарно равны). Ясно, что это — правильный треугольник со стороной 2. Ещё проще осуществляется аналогичная переклейка в задаче б) (рис. 3).

Остаётся заметить, что правильный треугольник с указанным способом склейки границы является развёрткой правильного тетраэдра, который получается, если перегнуть треугольник по средним линиям.

Строго говоря, нужно ещё доказать, что правильный тетраэдр является единственным многогранником с заданной развёрткой. Мы ещё вернёмся к этой задаче и, в частности, докажем его единственность.

Рисунок номер 1 Рисунок номер 2 Рисунок номер 3