Запишем теорему косинусов для треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$, полагая $\angle AOB=\alpha$ (и тем самым $\angle BOC=\pi-\alpha$; см. рисунок):
$$
\begin{gather*}
AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cos\alpha,\\
BC^2=BO^2+CO^2-2BO\cdot CO\cos\alpha,\\
CD^2=CO^2+DO^2-2CO\cdot DO\cos\alpha,\\
DA^2=DO^2+AO^2-2DO\cdot AO\cos\alpha.
\end{gather*}
$$
Сложим эти равенства и перенесём квадраты отрезков диагоналей в левую часть:
$$\begin{gather*}
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2)=\\
=2\cos\alpha(-AO\cdot BO+BO\cdot CO-CO\cdot DO+DO\cdot AO)=\\
=2\cos\alpha(BO-DO)(CO-AO).
\end{gather*}$$
Равенство из условия равносильно тому, что последнее полученное выражение равно нулю, поэтому или $\cos\alpha=0$, и следовательно, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, или $BO=DO$, или $CO=AO$, т. е. одна из диагоналей делится точкой $O$ пополам.
Рисунок
