Задача М1060‍‍

Если одно из звеньев первой ломаной параллельно некоторому звену второй, то утверждение задачи очевидно (эти два звена — основания трапеции). Поэтому будем в дальнейшем предполагать, что никакие два звена разных ломаных не параллельны.

Прямую, содержащую звено, будем называть несущей прямой этого звена. Поскольку обе ломаные состоят из нечётного числа звеньев, число $N$‍‍ точек пересечения несущих прямых одной ломаной с несущими прямыми другой нечётно.

Допустим, что утверждение задачи неверно. Тогда, как бы ни выбрать на каждой ломаной по звену, точка пересечения их несущих прямых будет лежать на одном из этих двух звеньев. Следовательно, число $N$‍‍ можно представить как $$ \left(\colsep{0pt}{{\small\begin{array}{c} \text{число пересечений}\\ \text{первой ломаной}\\ \text{с несущими пря-}\\ \text{мыми второй}\end{array}}}\right)+ \left(\colsep{0pt}{{\small\begin{array}{c} \text{число пересечений}\\ \text{второй ломаной}\\ \text{с несущими пря-}\\ \text{мыми первой}\end{array}}}\right)- \left(\colsep{0pt}{{\small\begin{array}{c} \text{число}\\ \text{пересечений}\\ \text{ломаных друг}\\ \text{с другом}\end{array}}}\right), $$ поскольку последнее число дважды учитывается в сумме первых. Покажем, что каждое из этих чисел, а значит, и число $N$‍,‍ чётно, в противоречие со сказанным выше. Тем самым, задача будет решена.

Будем сдвигать одну ломаную в некотором направлении до тех пор, пока она не перестанет пересекаться с другой, и следить за тем, как меняется число их точек пересечения. Ясно, что оно может измениться только в тот момент, когда какая-то вершина $A$‍‍ одной из ломаных попадёт на некоторое звено $l$‍‍ другой. Направление сдвига можно выбрать так, чтобы вершина $A$‍‍ не могла совпасть с вершиной или точкой самопересечения другой ломаной. Тогда достаточно рассмотреть два случая: когда два звена, выходящие из вершины $A$‍,‍ лежат по разные стороны от $l$‍‍ (рис. 1) и по одну сторону (рис. 2). В первом случае число пересечений не меняется, во втором — увеличивается или уменьшается на 2. В любом случае чётность его сохраняется, и так как в конце пересечений не будет, число точек пересечения двух замкнутых ломаных чётно. Аналогично доказывается чётность числа пересечений замкнутой ломаной с прямой, т. е. чётность первых двух слагаемых в выражении для $N$‍.‍