Задача М1058‍‍

Введём на плоскости систему координат, поместив её начало в один из узлов решётки и направив ось абсцисс вправо, а ось ординат вверх. Разобьём данный набор векторов на две части $V_1$‍‍ и $V_2$‍.‍ К $V_1$‍‍ отнесём векторы с координатами $(x, y)$‍,‍ где $y \gt 0$‍‍ или $y=0$‍,‍ а $x \gt 0$‍.‍ Остальные векторы отнесём к $V_2$‍.‍ Если число отмеченных узлов конечно, то среди них можно выбрать узел, имеющий наибольшую абсциссу из всех узлов с наибольшей ординатой (самый правый из самых верхних). Отложим от него все векторы (см. рисунок). Тогда концы векторов множества $V_1$‍‍ попадут в неотмеченные узлы. По условию задачи отсюда следует, что множество $V_2$‍‍ содержит больше векторов, чем $V_1$‍.‍ Точно так же, откладывая векторы от самого левого из самых нижних отмеченных узлов, получим, что в множестве $V_1$‍‍ векторов больше, чем в $V_2$‍.‍ Это противоречие показывает, что множество отмеченных узлов бесконечно.