Условие задачи (1987, № 8) Задача М1057 // Квант. — 1987. — № 8. — Стр. 23; 1987. — № 12. — Стр. 25.
Два игрока поочерёдно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие
- Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для
$p=10$, и укажите её. - Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для
$p=1000$.
Изображения страниц
Решение задачи (1987, № 12) Задача М1057 // Квант. — 1987. — № 8. — Стр. 23; 1987. — № 12. — Стр. 25.
а) Ответ: выигрывает начинающий. Первым ходом он должен написать число 6. После этого можно писать только числа 4, 5, 7, 8, 9, 10. Разобьём их на пары: (4, 5), (7, 9), (8, 10). Легко видеть, что в ответ на любое число, написанное вторым игроком, первый всегда сможет написать парное число.
б) Ответ: выигрывает начинающий. Докажем это от противного. Пусть у начинающего нет выигрышной стратегии, т. е. на любой его ход у второго игрока есть ответ, ведущий в конце концов к выигрышу. В частности, если начинающий пишет первым ходом 1, его партнёр некоторой стратегией может обеспечить себе выигрыш, написав сначала какое-то число