Если бы можно было отсечь больше $\dfrac n2$ описанных четырёхугольников, то среди них нашлось бы два соседних, — имеющих две общие стороны. Обозначим их $ABCD$ и $BCDE$ (рис. 1). У каждого из них суммы противоположных сторон равны:
$$
AB+CD=BC+AD, \quad BC+DE=CD+BE.
$$
Отсюда получаем, что $$
AB+DE=AD+BE. \tag{*}
$$
Исходный $n$-угольник выпуклый, поэтому его диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в некоторой точке $P$. По неравенству треугольника
$$
AD+BE=AP+BP+PD+PE \gt AB+DE,
$$
что противоречит $(*)$.
Рис. 1
Чтобы построить нужный 8-угольник, опишем около окружности равнобокую трапецию $A_1A_2A_3A_4$ с углами в $45^\circ$ при основании $A_1A_4$, а затем достроим её до 8-угольника $A_1A_2\ldots A_8$ как показано на рисунке 2. Аналогично строится $n$-угольник, от которого можно отсечь диагоналями $\left[\dfrac{n}{2}\right]$ описанных четырёхугольников.
Рис. 2
