Докажем, что такое множество может содержать только три точки (разумеется, предполагая, что оно содержит более одной).
Обозначим это множество буквой $\mathit\Gamma$.
Пусть $A$ и $B$ — две точки множества $\mathit\Gamma$, расстояние между которыми наибольшее. По условию, $\mathit\Gamma$ содержит такую точку $C$, что треугольник $ABC$ равносторонний: $AB=BC=AC=d$.
Пусть $P$ — ещё одна точка, принадлежащая множеству $\mathit\Gamma$. Поскольку расстояние между точками $P$ и $A$ не превосходит $d$, точка $P$ должна лежать внутри круга радиуса $d$ с центром $A$. Точно так же она должна лежать и внутри кругов радиуса $d$ с центрами $B$ и $C$. Таким образом, множество $\mathit\Gamma$ не выходит за пределы общей части этих трёх кругов — криволинейного «треугольника» $T$ (рис. 1).
Далее, вместе с точками $P$ и $A$ множеству $\mathit\Gamma$ должна принадлежать одна из двух точек $Q$ и $R$ — вершин равносторонних треугольников $APQ$ и $APR$, т. е. точек, получающихся из $P$ поворотом на $60^\circ$ (в ту или другую сторону) вокруг $A$ (рис. 2). Для того чтобы точка $Q$ лежала внутри $T$, нужно, чтобы точка $P$ лежала в пределах голубого «лепестка» $AB$; действительно, если повернуть треугольник $T$ вокруг точки $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки, то точки лепестка $AB$ и только они не выйдут за пределы $T$. Точно так же, для того чтобы точка $R$ лежала внутри $T$, нужно, чтобы точка $P$ лежала в пределах голубого «лепестка» $AC$. Итак, мы доказали, что любая точка $P$ множества $\mathit\Gamma$ должна лежать в пределах множества $T_A$, состоящего из двух голубых лепестков $AB$ и $AC$ с общей вершиной $A$. Но точно так же доказывается, что $\mathit\Gamma$ заключено в пределах множества $T_B$ (рис. 3) и $T_C$ (рис. 4), а общая часть трёх множеств $T_A$, $T_B$ и $T_C$ состоит только из трёх точек $A$, $B$ и $C$. Следовательно, никакая другая точка $P$ не может принадлежать множеству $\mathit\Gamma$.
В нашем решении мы пользовались только тем, что в множестве $\mathit\Gamma$ можно указать две точки, расстояние между которыми максимально. Для множества $\mathit\Gamma$, состоящего из конечного числа точек, это, разумеется, так. Однако утверждение задачи остаётся верным, если наложить на множество $\mathit\Gamma$ более слабое условие — условие ограниченности. Для решения задачи в этом случае необходимы дополнительные рассуждения; их без труда смогут провести те, кто владеет первоначальными понятиями топологии точечных множеств на плоскости, например, в объёме книги: Н. Стинрод и У. Чинн «Первые понятия топологии» («Мир», популярная серия «Современная математика»). Заметим, что от условия ограниченности отказаться уже нельзя.
